Question

已知圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R．
（I）直線l是否過定點，有則求出來？判斷直線與圓的位置關系及理由？
（II）求直線被圓C截得的弦長L的取值范圍及L最短時弦所在直線的方程．

Answer 1

分析：（I）直線l即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由

x+y-4=0 2x+y-7=0

求得直線過定點A（3，1）．再由|AC|=

4+1

，小于半徑，可得點A在圓內，故直線和圓相交．
（II）當直線l過圓心時，弦長L最大為直徑10，當CA和直線l垂直時，弦長L最小為 4

5

，由此可得直線被圓C截得的弦長L的取值范圍．當弦長L最小時，求得AC的斜率K_AC，可得直線l的斜率，再由點斜式求得直線l的方程．

解答：解：（I）直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0 即 （x+y-4）+m（2x+y-7）=0，由

x+y-4=0 2x+y-7=0

 求得

x=3 y=1

，故直線過定點A（3，1）．
再由圓C：x²+y²-2x-4y-20=0，即 （x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）為圓心，以5為半徑的圓，而|AC|=

4+1

，小于半徑，
故點A在圓內，故直線和圓相交．
（II）當直線l過圓心時，弦長L最大為直徑10，當CA和直線l垂直時，弦長L最小，為2

25-5

=4

5

，
故直線被圓C截得的弦長L的取值范圍為[4

5

，10]．
當弦長L最小時，AC的斜率K_AC=

1-2

3-1

=-

1

2

，故直線l的斜率為2，故直線l的方程為 y-1=2（x-3），即 2x-y-5=0．

點評：本題主要考查直線過定點問題，直線和圓相交的性質，用點斜式求直線的方程，屬于中檔題．