Question

如圖在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中正確的有

 

．（填上所有正確命題的序號(hào)） 
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④異面直線PM與BD所成的角為45°．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：利用線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)、異面直線所成的角即可得出．

解答： 解：在四面體ABCD中，∵截面PQMN是正方形，∴PQ∥MN，PQ?平面ACD，MN?平面ACD，∴PQ∥平面ACD．
∵平面ACB∩平面ACD=AC，∴PQ∥AC，可得AC∥平面PQMN．
同理可得BD∥平面PQMN，BD∥PN．
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD∥PN，
∴∠MPN是異面直線PM與BD所成的角，且為45°．
由上面可知：BD∥PN，PQ∥AC．
∴

PN

BD

=

AN

AD

，

MN

AC

=

DN

AD

，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC．
綜上可知：①③④都正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)、異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題．