向量m=(sinωx+cosωx,cosωx)(ω>0),n=(cosωx-sinωx,2sinωx),函數(shù)f(x)=m•n+t,若f(x)圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)軸間的距離為,且當(dāng)x∈[0,π]時(shí),函數(shù)f(x)的最小值為0.
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,并求f(x)的增區(qū)間;
(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cos B+cos(A-C),求sin A的值.
【答案】分析:(1)利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,二倍角公式,化簡(jiǎn)函數(shù)f(x)的解析式為 2sin(2ωx+)+t,根據(jù)周期性和最小值,
求出ω 和 t 的值,即得函數(shù)的解析式為,由,求得x的范圍,就是f(x)的增區(qū)間.
(2)據(jù)f(C)=1,求得C=,A+B=,再由 2sin2B=cos B+cos(A-C),可得 2 cos2A=sinA+sinA,解出sinA 的值.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=m•n+t=cos2ωx+sin2ωx+t=2sin(2ωx+)+t,由 =,
ω=,∴f(x)=.當(dāng)x∈[0,π]時(shí),,
函數(shù)f(x)的最小值為 1+t=0,∴t=-1,∴
,k∈z,可得   3kπ-π≤x≤3kπ+,
故f(x)的增區(qū)間為   ,k∈z.
(2)∵f(C)=1=2sin( )-1,∴sin( )=1,由 0<C<π 可得,,
 ,∴=,C=,A+B=. 
又  2sin2B=cos B+cos(A-C),∴2 cos2A=sinA+sinA,∴
點(diǎn)評(píng):本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,二倍角公式,兩角和正弦公式,正弦函數(shù)的單調(diào)性,定義域和值域,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,求出函數(shù)f(x)的 解析式,是解題的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,
3
cosωx)且0<ω<2,函數(shù)f(x)=m•n,且f(
π
3
)=
3
2

(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)將函數(shù)y=g(x)的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
4
,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的解析式及其在[-
π
3
π
3
]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(sinωx,1),
n
=(
3
Acos
ωx,
A
2
cos2
ωx)(A>0,ω>0),函數(shù)f(x)=
m
n
的最大值為3,且其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
2
倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)g(x)在[
π
4
,
π
2
]
上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年山東省德州市高三(上)校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx)且0<ω<2,函數(shù)f(x)=m•n,且f()=
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)將函數(shù)y=g(x)的圖象向右平移個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的解析式及其在[-,]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知向量m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,
3
cosωx)且0<ω<2,函數(shù)f(x)=m•n,且f(
π
3
)=
3
2

(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)將函數(shù)y=g(x)的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位,再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的
1
4
,得到函數(shù)y=f(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的解析式及其在[-
π
3
,
π
3
]上的值域.

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