Question

6．函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）+cos（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期為24π，則f（π）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由條件利用兩角和差的正弦公式化簡f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得f（π）=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）cos（ωx-$\frac{π}{4}$）+cos（ωx+$\frac{π}{4}$）sin（ωx-$\frac{π}{4}$）
=sin[（ωx+$\frac{π}{4}$）+（ωx-$\frac{π}{4}$）]=sinωx 的最小正周期為24π，
∴$\frac{2π}{ω}$=24π，∴ω=$\frac{1}{12}$，f（x）=sin$\frac{x}{12}$，
則f（π）=sin$\frac{π}{12}$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=sin$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-cos$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．