Question

已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，離心率．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)為曲線:上任一點(diǎn)（點(diǎn)不同于），直線與直線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，試判斷直線與曲線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

(1)(2)相切

【解析】

試題分析：

(1)根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以判斷橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,而x軸上頂點(diǎn)的坐標(biāo)已知,即可得到a的值,再根據(jù)離心率的計(jì)算公式即可求的c的值,再利用a,b,c之間的關(guān)系即可求的的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)R在直線x=2上,即點(diǎn)R的橫坐標(biāo)已知,再利用A,C,R三點(diǎn)哎同一直線上,即向量共線,把A,C的坐標(biāo)帶入即可得到R點(diǎn)的坐標(biāo),D為RB的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到D點(diǎn)的坐標(biāo),CD兩點(diǎn)坐標(biāo)已知,利用直線的兩點(diǎn)式即可求的直線CD的方程,利用C點(diǎn)滿足圓E的方程,計(jì)算圓心到直線CD的距離,可得到圓心到直線CD的距離等于圓E的半徑,即直線DC與圓E相切.

試題解析：

（1）由題意可得，，∴ 2分

∴， 3分

所以橢圓的方程為． 4分

（2）曲線是以為圓心，半徑為2的圓。

設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 5分

∵三點(diǎn)共線，∴， 6分

而，，則，

∴， 8分

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為， 10分

∴直線的斜率為，

而，∴，

∴， 12分

∴直線的方程為，化簡得，

∴圓心到直線的距離， 13分

所以直線與曲線相切． 14分

考點(diǎn)：橢圓離心率圓與直線的位置關(guān)系