【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：恒成立；

（2）若關于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的最小值.

【答案】（1）見證明；（2）3

【解析】

（1）當時，，求導，研究函數(shù)單調(diào)性，求最值，證明不等式；（2）將方程轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導數(shù)，研究函數(shù)單調(diào)性及取值范圍，數(shù)形結(jié)合得的最小值

（1）證明：當時，，，

令，所以當時，，單調(diào)遞增；

當時，，單調(diào)遞減.

故，所以.

（2） 至少有兩個根，

記，所以，

記，所以，

令舍）

所以當，，單調(diào)遞減，時，，

單調(diào)遞增，所以的最小值為

，

又，所以時，，

又當時， ，因此必存在唯一的

，使得.

因此時，，單調(diào)遞増，，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞増，畫出的大致圖象，如圖所示

因此當時，與至少有兩個交點，

所以的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】20名學生某次數(shù)學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如下：

(1)求頻率直方圖中a的值；

(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù)；

(3)從成績在[50,70)的學生中人選2人，求這2人的成績都在[60,70)中的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象與的圖象關于對稱，且，函數(shù)的定義域為．

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)的最大值為2，求實數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】唐三彩，中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點，在中國文化中占有重要的歷史地位，在中國的陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆.唐三彩的生產(chǎn)至今已有1300多年的歷史，對唐三彩的復制和仿制工藝，至今也有百余年的歷史，某陶瓷廠在生產(chǎn)過程中，對仿制的100件工藝品測得其重量（單位： ）數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：

（1）在答題卡上完成頻率分布表；

（2）以表中的頻率作為概率，估計重量落在中的概率及重量小于2.45的概率是多少？

（3）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間的中點值是2.25作為代表.據(jù)此，估計這100個數(shù)據(jù)的平均值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進行最后一輪較量， 獲得本場比賽勝利，最終人機大戰(zhàn)總比分定格.人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調(diào)查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.

（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認為“圍棋迷”與性別有關？

非圍棋迷

圍棋迷

合計

男

女

10

55

合計

（Ⅱ）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量學生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學生，抽取3次，記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的平均值和方差.

附： ，其中.

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）若點在函數(shù)上，當，且時，證明： （是自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓．現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取次．記錄如下：

甲： ， ， ， ， ， ， ，

乙： ， ， ， ， ， ， ，

（）用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)．

（）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從統(tǒng)計學的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適?請說明理由．

（）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預測，記這次成績中高于分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某市甲水廠每天生產(chǎn)萬噸的生活用水，其每天固定生產(chǎn)成本為萬元，居民用水的稅費價格為每噸元，該市居民每天用水需求量是在（單位：萬噸）內(nèi)的隨機數(shù)，經(jīng)市場調(diào)查，該市每天用水需求量的頻率分布直方圖如圖所示，設（單位：萬噸， ）表示該市一天用水需求量（單位：萬元）表示甲水廠一天銷售生活用水的利潤（利潤=稅費收入-固定生產(chǎn)成本），注：當該市用水需求量超過萬噸時，超過的部分居民可以用其他水廠生產(chǎn)的水，甲水廠只收成本廠供應的稅費，該市每天用水需求量的概率用頻率估計.

（1）求的值，并直接寫出表達式；

（2）求甲水廠每天的利潤不少于萬元的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，面.

(1)求四棱錐S-ABCD的體積;

(2)求證：面

(3)求SC與底面ABCD所成角的正切值。

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