Question

(2005全國Ⅱ，20)如下圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點．

(1)求證：EF⊥平面PAB；

(2)設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大�。�

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)證明：如下圖，連結(jié)EP，∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)．∴PD⊥DE．又CE=ED，PD=AD=BC．∴Rt△BCE≌Rt△PDE．∴PE=BE． ∵F為PB中點． ∴EF⊥PB． 由垂線定理得PA⊥AB． ∴在Rt△PAB中PF=AF， 又PE=BE=EA． ∴△EFP≌△EFA． ∴EF⊥FA． ∵PB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線，∴EF⊥平面PAB． (2)不妨設(shè)BC=1，則AD=PD=1，AB=，PA=，AC=． ∴△PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F為其斜邊中點，BF=1．且AF⊥PB． ∵PB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直， ∴PB⊥平面AEF． 連結(jié)BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，則GH⊥平面AEF．∠GAH為AC與平面AEF所成的角． 由△EGC∽△BGA可知 ，，． 由△EGH∽△EBF可知． ∴． ∴AC與面AEF所成的角為arcsin．

提示：

剖析：本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識、及思維能力和空間想象能力．考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力．