Question

如圖，在邊長為a的正方體中，M、N、P、Q分別為AD、CD、、的中點．

（1）求點P到平面MNQ的距離；

（2）求直線PN與平面MPQ所成角的正弦值．

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）求點到平面距離，關鍵是過該點作出平面的垂線（段），然后構造三角形計算，也可以利用等面積或者等體積方法計算，還可以利用空間向量；（2）直線與平面所成角通常通過直線在平面上的射影構造三角形計算，也可以利用平面的法向量計算.

試題解析：方法1（幾何法）：∵平面，

 

∴點P到平面MNQ的距離等于點B到平面MNQ的距離．設．∵平面MNQ平面ABCD，∴由得平面MNQ，∴點P到平面MNQ的距離為． 6分

（2）設點N到平面MNQ的距離為d．可以求得，

∴．．由得

，∴．設直線PN與平面MPQ所成的角為，則．故直線PN與平面MPQ所成的角的正弦值為． 12分

方法2（空間向量方法） 建立如圖所示的空間直角坐標系．

（1）是平面MNQ的一個法向量．

∵，∴點P到平面MNQ的距離．

（2）設平面MPQ的一個法向量為．．

由得得

∴．．

．設直線PN與平面MPQ所成的角為，則

．

考點：空間幾何體，線面關系