Question

如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點M、N.

（1）求橢圓C的方程；

（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;

（3）設(shè)點P是橢圓C 上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與軸交于點R，S，O為坐標(biāo)原點。求證：為定值.

 

Answer 1

（1）（2）取得最小值為-，圓T的方程為：；

（3）

【解析】

試題分析：（1）橢圓C:的離心率為

由橢圓的左頂點為，所以可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點M與點N關(guān)于軸對稱，設(shè)，

，再根據(jù)的取值范圍求出的最小值，并由取得最小值的條件確定，進(jìn)而確定圓的半徑.

（3）設(shè)點,利用點分別是直線 與軸的交點，把 用表示,

而,結(jié)合點都在橢圓上,將表達(dá)式化簡即可.

試題解析：

【解析】
（1）由題意知解之得；，由得b=1，

故橢圓C方程為;3分

（2）點M與點N關(guān)于軸對稱，

設(shè) 不妨 設(shè).

由于點M在橢圓C上，,

由已知,

,

階段;

由于故當(dāng)時，取得最小值為-,

當(dāng)時，故又點M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；...8分

（3）設(shè)，則直線MP的方程為

令，得，同理, 故，10分

又點M與點P在橢圓上，故 ，

得，

為定值．.14分

考點：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程序；3、向量的數(shù)量積；4直線的方程.