點M與互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)k(k＞0)，求點M的軌跡。

答案：
解析：

解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系。

設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y)，點M的軌跡就是與坐標(biāo)軸的距離的積等于常數(shù)k的點的集合：

P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},

(其中Q、R分別是點M到x軸、y軸的垂線的垂足）

因為點M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對值，

∴｜x｜·｜y｜=k

即x·y=±k       ①

(1)由求方程的過程可知，曲線上的點的坐標(biāo)都是方程①的解；

（2）設(shè)點M1的坐標(biāo)(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k,

即｜x1｜·｜y1｜=k。

而｜x1｜、｜y1｜正是點M1到縱軸、橫軸的距離，因此點M1到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k，點M1是曲線上的點。

由（1）、（2）可知，方程①是所求軌跡的方程。


練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)已知橢圓E的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點坐標(biāo)為（1，0），點P（1，
3
2
）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
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已知雙曲線C1：x2-y2=m（m＞0）與橢圓C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1有公共焦點F1F2，點N(
2
，1)是它們的一個公共點．
（1）求C1，C2的方程；
（2）過點F2且互相垂直的直線l1，l2與圓M：x2+（y+1）2=4分別相交于點A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此時直線l1的方程．

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已知雙曲線C1：x2-y2=m（m＞0）與橢圓有公共焦點F1F2，點是它們的一個公共點．
（1）求C1，C2的方程；
（2）過點F2且互相垂直的直線l1，l2與圓M：x2+（y+1）2=4分別相交于點A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此時直線l1的方程．

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