Question

已知定義在R上的奇函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），f（1）=1，且f（x）在（0，1）上單調，則方程f（x）=|lgx|的實根的個數為（　　）

A．5

B．6

C．10

D．12

Answer 1

分析：利用函數的奇偶性和對稱性，可得函數的對稱性，然后分別作出函數y=f（x）和y=|lgx|的圖象，利用圖象確定方程根的個數．

解答：解：∵函數為奇函數，且f（2-x）=f（x），
∴f（2-x）=f（x）=-f（x-2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數f（x）的周期為4．
由f（2-x）=f（x），得到函數的對稱軸為x=1，
當lgx=1時，解得x=10．
作出函數y=f（x）和y=|lgx|的圖象如圖：
則由圖象可知，兩個函數的圖象交點個數為6個．
故方程f（x）=|lgx|的實根的個數為6個．
故選：B．

點評：本題主要考查函數交點個數的判斷，利用函數的奇偶性和對稱性可得函數的周期性，利用數形結合可以求出兩個函數的交點．