Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）．當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)值的集合為[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出a，b；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)x＜0時(shí)f（x）的表達(dá)式，利用函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，算出當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=-f（-x）=2x-x²，再由f（0）=0，即可寫(xiě)出函數(shù)f（x）分段函數(shù)形式的解析式；
（II）由題意可得a＜b＜0或0＜a＜b，再分別根據(jù)a＜b＜0和0＜a＜b時(shí)兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于a、b的方程組，解之可得滿足條件的實(shí)數(shù)a、b的值．

解答：解：（I）∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+2x，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=-f（-x）=2x-x²，
因此，函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

-x2+2x， (x＞0) 0， (x=0) x2+2x，(x＜0)

；
（I）由（1）求出的f（x）解析式，作出f（x）的圖象如圖所示．
若f（x）在x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)值的集合為[

1

b

，

1

a

]，
則a＜b且

1

b

＜

1

a

，可得a＜b＜0或0＜a＜b．
①當(dāng)a＜b＜0時(shí)，若a∈（-1，0），則

1

a

＜-1．
由于函數(shù)f（x）在（-∞，0）的最小值為-1，所以不存在x∈[a，b]使函數(shù)值的集合為[

1

b

，

1

a

]，
因此a∈（-∞，-1]，同理可得b∈（-∞，-1]，
∴a＜b≤-1，可得f（x）在[a，b]上為減函數(shù)，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=- 1+ 5 2 b=-1

；
②當(dāng)0＜a＜b時(shí)，類似①的方法可得a∈[1，+∞），且b∈[1，+∞）．
∴1≤a＜b，可得f（x）在[a，b]上為減函數(shù)，
即

f(a)=a2+2a= 1 a f(b)=b2+2b= 1 b

，解之得

a=1 b= 1+ 5 2

．
綜上所述，存在

a=1 b= 1+ 5 2

或

a=- 1+ 5 2 b=-1

，使得f（x）在x∈[a，b]時(shí)，函數(shù)值的集合為[

1

b

，

1

a

]．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性及其應(yīng)用、函數(shù)的解析式求法和基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．