Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）證明：；

（2）若，證明；

（3）用表示和中的較大值，設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析，（2）見解析，（3）見解析

【解析】

（1）首先設(shè)函數(shù)，再求的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可證明，即證.（2）由（1）知，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明.（3）首先對(duì)和的范圍進(jìn)行分類討論得出和在的單調(diào)性和最值，再判斷和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)，則.

令得，則在上，，為增函數(shù)，

在上，，為減函數(shù).

所以，即，即證.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，.

前面的“”僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).后面的“”僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

不能同時(shí)取到，所以.

（3）在區(qū)間上，，

所以，

所以在區(qū)間上不可能有零點(diǎn).

下面只考慮區(qū)間上和處的情況.

由題意的定義域?yàn)?/span>，.

令可得（負(fù)值舍去）.

在上為增函數(shù)，

在上，為減函數(shù)，

所以.

①當(dāng)時(shí)，，所以.

因?yàn)樵趨^(qū)間上，，且，

所以此時(shí)存在唯一的零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)?/span>，所以.

所以.

于是恒成立.

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可知此時(shí)存在唯一的零點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增.

又因?yàn)?/span>，，

所以在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn).

結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可知是唯一的零點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上有唯一的零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，在上也有1個(gè)零點(diǎn).