Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是菱形，且PC⊥底面ABCD，E是側(cè)棱PC上的動點．
（1）當E是側(cè)棱PC的中點時，求證：PA∥面BDE
（2）是否不論點E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關系與距離

分析：（I）連接AC，BD與AC交于點O，連接OE，由三角形中位線定理可得OF∥PA，再由線面平行的判定定理，即可得到PA∥平面BDF；
（Ⅱ）證明PC⊥面ABCD，BD⊥PC，證明BD⊥面PAC，即可證明BD⊥AE．

解答： 證明：（Ⅰ）連接AC，BD與AC交于點O，連接OE．…（1分）

∵ABCD是菱形，
∴O是AC的中點．
∵點E為PC的中點，
∴OE∥PA．  …（4分）
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．                …（6分）
（Ⅱ）無論點E在任何位置時，都有BD⊥AE；
證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC，BC∩DC=C，⇒PC⊥面ABCD…（2分）
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因為BD⊥AC，PC∩AC=C，
∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，
∴BD⊥AE．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，其中（I）的關鍵是證得OF∥PA，本題考查了線線垂直和線面垂直的判定定理的運用，關鍵是熟練有關的定理，熟練轉(zhuǎn)化的思想．