Question

（2013•太原一模）已知函數(shù)f(x)=

x3，-1＜x≤0 f(x-1)+1，x＞0

，若函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（　　）

• A．an=

  n(n-1)

  2

• B．a(chǎn)_n=n（n-1）
• C．a(chǎn)_n=n-1
• D．an=2n-2

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，構(gòu)造兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，再通過數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念得所求的解．

解答：解：當(dāng)x∈（-1，0]時(shí)，由g（x）=f（x）-x=x³-x=0，可得x=0，故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)為 x=0．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=（x-1）³+1，
由g（x）=f（x）-x=（x-1）³+1-x=0 求得 x=1，故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)為 x=1．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=（x-2）³+1+1=（x-2）³+2，
由g（x）=f（x）-x=（x-2）³+2-x=0 求得 x=2，故函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)為 x=2．
以此類推，當(dāng)x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時(shí)，函數(shù)g（x）對應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=n-1．
故選 C．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)的求法、數(shù)列的概念及簡單表示；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；
解題中使用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．