Question

（2013•湛江二模）已知拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是C上異于 原點O的兩個不重合點，OA丄OB，且AB與x軸交于點T
（1）求x₁x₂的值；
（2）求T的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點A在C上運動時，動點R滿足：

FA

+

FB

=

FR

，求點R的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積公式，結(jié)合A，B在拋物線上，即可求x₁x₂的值；
（2）分類討論，確定OA的方程與拋物線聯(lián)立，即可求T的坐標(biāo)；
（3）利用動點R滿足：

FA

+

FB

=

FR

，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點差法，結(jié)合AB的中點M（

x+1

2

，

y

2

），點T（4，0）都在直線AB上，即可求點R的軌跡方程．

解答：解：（1）由OA丄OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0
∵y12=4x1，y22=4x2，∴16x1x2=(y1y2)2
代入上式得16y1y2+(y1y2)2=0
∵y₁y₂≠0，∴y₁y₂=-16，∴x₁x₂=16；
（2）設(shè)T（t，0），當(dāng)x₁≠x₂時，A，B，T三點共線，∴

y1

x1-t

=

y2

x2-t

∴（y₂-y₁）t=y₂x₁-y₁x₂=-4（y₁-y₂）
∵y₁≠y₂，∴t=4
當(dāng)x₁=x₂時，∵OA⊥OB，此時△AOB為等腰直角三角形，x₁=x₂=t，直線OA的方程式為y=x
與拋物線聯(lián)立，解得t=x₁=4
∴T的坐標(biāo)是（4，0）；
（3）設(shè)R（x，y），由F（1，0），

FA

+

FB

=

FR

，得（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x-1，y）
即

x1+x2=x+1 y1+y2=y

∵y12=4x1，y22=4x2，∴兩式相減可得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
當(dāng)x₁≠x₂時，y•

y1-y2

x1-x2

=4
∵AB的中點M（

x+1

2

，

y

2

），點T（4，0）都在直線AB上，
∴k_AB=k_TM，即

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x+1 2 -4

代入上式得y•

y 2

x+1 2 -4

=4
化簡可得y²=4x-28
當(dāng)x₁=x₂時，點R（7，0）符合上式
綜上可知點R的軌跡方程是y²=4x-28．

點評：本題考查軌跡方程，考查點差法的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．