Question

【題目】已知橢圓的焦點坐標是，，過點垂直于長軸的直線交橢圓與，兩點，且.

（1）求橢圓方程：

（2）過坐標原點做兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點到直線的距離為定值，此定值為.

【解析】

（1）根據題意知，，利用即可得解；

（2）分兩種情況進行討論：當直線的斜率不存在時，可設，，再由，在橢圓上，可求得，此時易求點到直線的距離；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用得，結合韋達定理，化簡即可得到，的關系式，再根據點到直線距離即可得解.

（1）設橢圓方程為，

由焦點坐標得，由，可得，

又，所以，，

故橢圓方程為.

（2）當直線的斜率不存在時，此時可設，，

又，兩點在橢圓上，

所以，解得，

所以點到直線的距離為；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

由得，

設，，則，，

因為，所以，

所以即，

所以，

整理得，滿足，

所以點到直線的距離為為定值.