Question

如圖(1)所示,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分別為AC、AB的中點(diǎn),將△AEF沿EF折起,使A′在平面BCEF上的射影O恰為EC的中點(diǎn),得到圖(2).

(1)求證:EF⊥A′C;
(2)求三棱錐FA′BC的體積.

Answer 1

(1)見解析   (2)

解析(1)證明:在△ABC中,EF是等腰直角△ABC的中位線,
∴EF⊥AC,
在四棱錐A′BCEF中,EF⊥A′E,EF⊥EC,
又EC∩A′E=E,∴EF⊥平面A′EC,
又A′C?平面A′EC,
∴EF⊥A′C.
(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,
∴S_△FBC=BC·EC=4,
∵A′O⊥平面BCEF,
∴A′O⊥EC,
又∵O為EC的中點(diǎn),
∴△A′EC為正三角形,邊長為2,
∴A′O=,
∴==S_△FBC·A′O=×4×=.