Question

1．?dāng)?shù)列{a_n-b_n}為等比數(shù)列，公比q＞0，首項(xiàng)為1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，若S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$（n∈N₊），a₃=$\frac{81}{20}$．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，當(dāng)n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{6}$．當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1即可得出；
（2）由a₁-b₁=1，a₃-b₃=4，可得q，可得a_n=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）+{2}^{n-1}$，再利用“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{n}{2（n+2）}$，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{6}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=$\frac{n}{2（n+2）}-\frac{n-1}{2（n+1）}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$．
（2）∵a₁-b₁=1，a₃-b₃=$\frac{81}{20}-\frac{1}{4×5}$=4，
∴4=1×q²，q＞0，解得q=2．
∴a_n-b_n=2^n-1．
∴${a}_{n}=_{n}+{2}^{n-1}$=$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）+{2}^{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$+2ⁿ-1
=${2}^{n}-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．