在直角坐標系xOy中,橢圓C1: ="1" (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2, F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=.
(1)求C1的方程;
(2)直線l∥OM,與C1交于A、B兩點,若·=0,求直線l的方程.
(1).(2)直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.
【解析】
試題分析:(1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),設M(x1,y1),M在C2上,因為|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且橢圓C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.
解得a=2(a=不合題意,舍去). b2=4-1=3.故橢圓C1的方程為.
(2)因為l∥OM,所以l與OM的斜率相同.故l的斜率k==.設l的方程為y=(x-m).
由消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.
因為⊥,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
=7·-6m·+6m2=(14m2-28)=0.所以m=±.此時Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)>0.
故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.
考點:本題主要考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關系,直線方程。
點評:難題,曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時,主要運用了橢圓的幾何性質,通過布列方程,達到解題目的。本題(2)在利用韋達定理的基礎上,借助于向量垂直,向量的數量積為0,得到了m的方程。
科目:高中數學 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
3 |
MN |
MF1 |
MF2 |
OA |
OB |
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