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在直角坐標系xOy中,橢圓C1: ="1" (a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2, F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=.

(1)求C1的方程;

(2)直線l∥OM,與C1交于A、B兩點,若·=0,求直線l的方程.

 

【答案】

(1).(2)直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.

【解析】

試題分析:(1)由C2:y2=4x,知F2(1,0),設M(x1,y1),M在C2上,因為|MF2|=,所以x1+1=,得x1=,y1=.所以M.M在C1上,且橢圓C1的半焦距c=1,于是消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.

解得a=2(a=不合題意,舍去). b2=4-1=3.故橢圓C1的方程為.

(2)因為l∥OM,所以l與OM的斜率相同.故l的斜率k==.設l的方程為y=(x-m).

消去y并整理得9x2-16mx+8m2-4=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.

因為,所以x1x2+y1y2=0.所以x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2

=7·-6m·+6m2=(14m2-28)=0.所以m=±.此時Δ=(16m)2-4×9(8m2-4)>0.

故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.

考點:本題主要考查橢圓標準方程,直線與橢圓的位置關系,直線方程。

點評:難題,曲線關系問題,往往通過聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時,主要運用了橢圓的幾何性質,通過布列方程,達到解題目的。本題(2)在利用韋達定理的基礎上,借助于向量垂直,向量的數量積為0,得到了m的方程。

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.F2也是拋物線C2:y2=4x的焦點,點M為C1與C2在第一象限的交點,且|MF2|=
5
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)平面上的點N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點,若
OA
OB
=0
,求直線l的方程.

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在直角坐標系xOy中,已知點P(2cosx+1,2cos2x+2)和點Q(cosx,-1),其中x∈[0,π].若向量
OP
OQ
垂直,求x的值.

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精英家教網如圖所示,在直角坐標系xOy中,射線OA在第一象限,且與x軸的正半軸成定角60°,動點P在射線OA上運動,動點Q在y軸的正半軸上運動,△POQ的面積為2
3

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(2)R1,R2是曲線C上的動點,R1,R2到y(tǒng)軸的距離之和為1,設u為R1,R2到x軸的距離之積.問:是否存在最大的常數m,使u≥m恒成立?若存在,求出這個m的值;若不存在,請說明理由.

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在直角坐標系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數),直線l的參數方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數)
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數學 來源: 題型:

在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率e=
2
2
,左右兩個焦分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點,且|MN|=2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設橢圓C的一個頂點為B(0,-b),是否存在直線l:y=x+m,使點B關于直線l 的對稱點落在橢圓C上,若存在,求出直線l的方程,若不存在,請說明理由.

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