在等差數(shù)列和等比數(shù)列
中,
,
,
是
前
項和.
(1)若,求實數(shù)
的值;
(2)是否存在正整數(shù),使得數(shù)列
的所有項都在數(shù)列
中?若存在,求出所有的
,若不存在,說明理由;
(3)是否存在正實數(shù),使得數(shù)列
中至少有三項在數(shù)列
中,但
中的項不都在數(shù)列
中?若存在,求出一個可能的
的值,若不存在,請說明理由.
(1);(2)存在,
;(3)存在,
(答案不唯一).
解析試題分析:(1)數(shù)列是等比數(shù)列,其前
和的極限存在,因此有公式
滿足
,且極限為
;(2)由于
是正整數(shù),因此可對
按奇偶來分類討論,因此當
為奇數(shù)時,等比數(shù)列
的公比不是整數(shù),是分數(shù),從而數(shù)列
從第三項開始每一項都不是整數(shù),都不在數(shù)列
中,而當
為偶數(shù)時,數(shù)列
的所有項都在
中,設(shè)
,則
,
展開有
,這里用到了二項式定理,
,結(jié)論為真;(3)存在時只要找一個
,首先
不能為整數(shù),下面我們只要寫兩數(shù)列的通項公式,讓
,取特殊值求出
,如取
,可得
,此時
在數(shù)列
中,由于
是無理數(shù),會發(fā)現(xiàn)數(shù)列
除第一項以外都是無理數(shù),而
是整數(shù),不在數(shù)列
中,命題得證,(如取其它的
又可得到另外的
值).
試題解析:(1)對等比數(shù)列,公比
.
因為,所以
. 2分
解方程, 4分
得或
.
因為,所以
. 6分
(2)當取偶數(shù)
時,
中所有項都是
中的項. 8分
證: 由題意:均在數(shù)列
中,
當時,
說明的第n項是
中的第
項. 10分
當取奇數(shù)
時,因為
不是整數(shù),
所以數(shù)列的所有項都不在數(shù)列
中。 12分
綜上,所有的符合題意的。
(3)由題意,因為在
中,所以
中至少存在一項
在
中,另一項
不在
中。 &nb
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列{an}的前5項和為105,且a10=2a5.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)對任意m∈N*,將數(shù)列{an}中不大于72m的項的個數(shù)記為bm,求數(shù)列{bm}的前m項和Sm.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.
(1)求d,an;
(2)若d<0,求|a1|+|a2|+…+|an|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2+a4=8,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x滿足f′=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=2,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-1,在等差數(shù)列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前
項和為
,滿足
且
恰好是等比數(shù)列
的前三項.
(Ⅰ)求數(shù)列、
的通項公式;
(Ⅱ)記數(shù)列的前
項和為
,若對任意的
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知首項為的等比數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,其前n項和為Sn,且S1+a1,S2+a2,S3+a3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若,數(shù)列{bn}的前n項和Tn,求滿足不等式
≥
的最大n值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
數(shù)列中,已知
,
時,
.數(shù)列
滿足:
.
(1)證明:為等差數(shù)列,并求
的通項公式;
(2)記數(shù)列的前
項和為
,若不等式
成立(
為正整數(shù)).求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對
.
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