已知函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx(a∈R且a≠0),g(-1)=0,則g(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足f(0)f(1)≤0.設(shè)x1,x2為方程f(x)=0的兩根.
(1)求
b
a
的取值范圍;
(2)若當(dāng)|x1-x2|最小時(shí),g(x)的極大值比極小值大
4
3
,求g(x)的解析式.
分析:(1)由題意可得b-a-c=0,函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,且f(0)f(1)=c•(3a+2b+c)≤0,化簡(jiǎn)可得3(
b
a
)
2
-
b
a
-2≤0,由此求得
b
a
的取值范圍.
(2)化簡(jiǎn)|x1-x2|的解析式為
4
9
(
b
a
-
3
2
)
2
+
1
3
,故a=b時(shí),|x1-x2|2取最小值,即|x1-x2|取最小值,此時(shí),g(x)=ax3+ax2f(x)=3ax2+2ax.分a>0和a<0兩種情況分別求出極大值和極小值,根據(jù)g(x)的極大值比極小值大
4
3
,求g(x)的解析式.x1+x2
解答:解:(1)由題意可得b-a-c=0,函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,且f(0)f(1)=c•(3a+2b+c)≤0.
化簡(jiǎn)可得 3b2-ab-2a2≤0.
∵a≠0,∴3(
b
a
)
2
-
b
a
-2≤0. 解得-
2
3
b
a
≤1,故
b
a
的取值范圍是[-
2
3
,1]
. …(4分)
(2)∵|x1-x2|2=(1+2)2-4x1•x2=(-
2b
3a
)
2
-4(
b
3a
-
1
3
)=
4
9
 
b
a
-
3
2
2
+
1
3
,
-
2
3
b
a
≤1
,故當(dāng) 
b
a
=1
,即a=b時(shí),|x1-x2|2取最小值,即|x1-x2|取最小值.…(7分)
此時(shí),g(x)=ax3+ax2f(x)=3ax2+2ax.
當(dāng)a>0時(shí)  f(x)在 (-∞,-
2
3
)
上是增函數(shù),在(-
2
3
,0)
 上是減函數(shù),在(0,+∞) 上是增函數(shù).
g(x)的極大值為g(-
2
3
)=
4
27
a
,極小值為g(0)=0.
由題意
4
27
a-0=
4
3
,a=9,此時(shí)g(x)=9x3+9x2.…(10分)
當(dāng)a<0時(shí),f(x)在 在 (-∞,-
2
3
)
上是減函數(shù),在(-
2
3
,0)
上是增函數(shù),在(0,+∞) 上是減函數(shù).
g(x)的極大值為g(0)=0,極小值為g(-
2
3
)=
4
27
a

由題意 0-
4
27
a=
4
3
,a=-9,此時(shí)g(x)=-9x3-9x2.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,方程的根與系數(shù)的關(guān)系,倒數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=x3-3ax2-3t2+t(t>0)
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)曲線y=g(x)在點(diǎn)M(a,g(a))和N(b,g(b))(a<b)處的切線都與y軸垂直,若方程g(x)=0在區(qū)間[a,b]上有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=lnx,0<r<s<t<1則( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
a+lnx
x
,且f(x)+g(x)=
(x+1)lnx
x

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)g(x)在[1,e]上的最小值為
3
2
,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•淄博一模)已知函數(shù)g(x)=(2-a)lnx,h(x)=lnx+ax2(a∈R),令f(x)=g(x)+h′(x).
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a<-2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)當(dāng)-3<a<-2時(shí),若對(duì)?λ1,λ2∈[1,3],使得|f(λ1)-f(λ2)|<(m+ln3)a-2ln3恒成立,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•濟(jì)寧二模)已知函數(shù)g(x)=
x
lnx
,f(x)=g(x)-ax(a>0).
(I)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)當(dāng)a≥
1
4
時(shí),若?x1,x2∈[e,e2]使f(x1)≤f′(x2)+a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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