已知函數(shù)g(x)=x3-3ax2-3t2+t(t>0)
(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)曲線y=g(x)在點M(a,g(a))和N(b,g(b))(a<b)處的切線都與y軸垂直,若方程g(x)=0在區(qū)間[a,b]上有解,求實數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)求導(dǎo),令f′(x)>0,令f′(x)<0分別得x的取值范圍,即為f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由曲線y=g(x)在點M和N處的切線都與y軸垂直,知g′(a)=g′(b)=0,得a,b,又方程g(x)=0在區(qū)間[a,b]上有解,知曲線g(x)在區(qū)間[0,2t]上與x軸相交,由(1)知g(x)在[0,2t]上單調(diào),可得g(0)g(2t)≤0,解不等式得實數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)由g'(x)=3x2-6tx>0和g′(x)=3x2-6tx<0(t>0)
知g(x)在(-∞,0)和(2t,+∞)上是增函數(shù),
g(x)在(0,2t)上是減函數(shù)
即g(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(2t,+∞),
g(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2t).(6分)
(2)由曲線y=g(x)在點M(a,g(a))和N(b,g(b))(a<b)處的切線都與y軸垂直知,
g′(a)=g′(b)=0,又a<b,所以a=0,b=2t,
若方程g(x)=0在區(qū)間[a,b]上有解,即曲線g(x)在區(qū)間[0,2t]上與x軸相交,
又g(x)在[0,2t]上單調(diào),所以g(0)g(2t)≤0,
即t2(3t-1)(4t2+3t-1)≤0,
得t∈[
1
4
,
1
3
].(12分)
點評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)幾何意義等知識點;注意把方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,可使問題直觀易懂.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對于一切實數(shù)x滿足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]時,f(x)=(x-2)2,求當(dāng)x∈[16,20]時,函數(shù)g(x)=2x-f(x)的表達式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間[-1000,1000]上的根數(shù)為N,求N的最小值.

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(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0),在區(qū)間[2,3]上有最大值4,最小值1,設(shè)函數(shù)f(x)=
g(x)
x

(1)求a、b的值; 
(2)當(dāng)
1
2
≤x≤2
時,求函數(shù)f(x)的值域;
(3)若不等式f(2x)-k≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是(  )
A、f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)B、f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)C、f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)D、f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且對于一切實數(shù)x滿足f(x+2)=f(2-x),f(x+7)=f(7-x)
(1)若f(5)=9,求:f(-5);
(2)已知x∈[2,7]時,f(x)=(x-2)2,求當(dāng)x∈[16,20]時,函數(shù)g(x)=2x-f(x)的表達式,并求出g(x)的最大值和最小值;
(3)若f(x)=0的一根是0,記f(x)=0在區(qū)間[-1000,1000]上的根數(shù)為N,求N的最小值.

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