已知橢圓：的面積為π，包含于平面區(qū)域內(nèi)，向平面區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q落在橢圓內(nèi)的概率為．

（Ⅰ）試求橢圓的方程；

（Ⅱ）若斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，

記直線的斜率為，直線的斜率為，試問：是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（Ⅰ）    （Ⅱ）  為定值0


解析:

  （Ⅰ）平面區(qū)域是一個(gè)矩形區(qū)域，如圖所示．      ………2分     

依題意及幾何概型，可得，       ……………………3分

即 ．　　因?yàn)椤?img width=135 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/162/414362.gif" >，

所以，　．     

                                         ………………5分

所以，橢圓的方程為    ……6分

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得：

 

（1）代入（2）得：

化簡得：………（3）                    ……………8分

當(dāng)時(shí)，即，

也即，時(shí)，直線與橢圓有兩交點(diǎn)，

由韋達(dá)定理得：，                           ………………10分

所以，，

則

                         ……………13分

所以，為定值。                                     ……………14分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E的方程為2x2+y2=2，過橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的長軸和短軸的長，離心率，焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求△ABO（O為原點(diǎn)）的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C1的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
3
2
，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1和F2，橢圓C1上一點(diǎn)到F1和F2的距離之和為12，橢圓C2的方程為
x2
(a-2)2
+
y2
b2-1
=1，圓C3：x2+y2+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點(diǎn)Ak．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）求△AkF1F2的面積；
（III）若點(diǎn)P為橢圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為過點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，
|OP|
|OM|
=e（e為橢圓C2的離心率），求點(diǎn)M的軌跡．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)為F（0，-
2
），點(diǎn)M（1，
2
）在橢圓C上
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：2x-y-2=0與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求△MAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)一模）已知橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1，右焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角為
π
4
，直線l與圓x2+y2=3相切于點(diǎn)Q，且Q在y軸的右側(cè)，設(shè)直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A，B．
（1）求直線l的方程；
（2）求△ABF的面積．

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