Question

如圖1-7-9所示,從地面垂直發(fā)射質量為m的物體,計算物體從A點飛到B點的過程中,地球引力所做的功.若要物體飛離地球引力的范圍,物體的初速度v₀應為多少?

圖1-7-9

Answer 1

故v₀="11.2" km/s就是物體從地面飛離地球引力范圍所必須具有的最小初速度,通常稱為第二宇宙速度.

根據(jù)萬有引力定律求出物體在發(fā)射飛行過程中所受引力的表達式,然后對引力進行積分.
解:由萬有引力定律,得地球對物體的引力為F=K·.
其中r為地心到物體的距離,M為地球的質量,m為物體的質量,K為引力常數(shù).
如果物體在地面上,R為地球的半徑,這時有mg=K·,
∴K=.
故F=mg·()².
因為地球對物體的引力F是隨距離r而改變的,所以物體從點A(r=R₁)飛到點B(r=R₂)時,地球引力對物體所做的功為
W=-=mgR²().
“-”表示物體所受的引力與物體飛出的方向相反,引力作負功.
利用這個關系就可以計算出物體從地面飛出地球引力范圍時,地球引力對物體所做的功
=-mgR,因此物體要脫離地球引力的范圍,必須克服地球引力,也就是說在發(fā)射物體時,給予物體的動能至少等于地球引力所做的功,
即mv₀²=mgR.
∴v₀=.以g="9.18" m/s²,R≈6.31×10⁶ m代入,
得v₀≈11.2(km/s).
故v₀="11.2" km/s就是物體從地面飛離地球引力范圍所必須具有的最小初速度,通常稱為第二宇宙速度.