Question

如圖,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點.

(1)求證:PB∥面EFG;

(2)求異面直線EG與BD所成的角;

(3)在線段CD上是否存在一點Q,使得點A到平面EFQ的距離為0.8.若存在,求出CQ的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解：(1)證明:取AB的中點H,連結GH、HE.

∵E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點,∴GH∥AD∥EF.∴E、F、G、H四點共面.

又H為AB的中點,∴EH∥PB.又EH面EFG,PB平面EFG,∴PB∥面EFG.

(2)取BC的中點M,連結GM、AM、EM,則GM∥BD,∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角.在Rt△MAE中,EM=,

同理,EG=.又GM=BD=,

∴在△MGE中,cos∠EGM=.

∴異面直線EG與BD所成的角等于arccos.

(3)假設在線段CD上存在一點Q滿足題設條件.過點Q作QR⊥AB于R,連結RE,則QR∥AD.

∵四邊形ABCD是正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,∴AD⊥AB,AD⊥PA.又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB.又∵E、F分別是PA、PD的中點,∴EF∥AD.∴EF⊥平面PAB.又EF面EFQ,∴面EFQ⊥面PAB.過A作AT⊥ER于T,則AT⊥平面EFQ,∴AT就是點A到平面EFQ的距離.設CQ=x(0≤x≤2),則BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,

在Rt△EAR中,AT==0.8,解得x=.故存在點Q,當CQ=時,點A到平面EFQ的距離為0.8.