Question

過點(diǎn)P（-

3

，0），作直線l交橢圓11x²+y²=9于M、N兩點(diǎn)，若以M、N為直徑的圓恰好通過橢圓的中心，求直線l的傾斜角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，把P（-

3

，0）代入橢圓方程：11×3+y²=9，無解，舍去．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+

3

)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
與橢圓的方程聯(lián)立，化為（11+k²）x²+2

3

k2x+3k²-9=0，要求△＞0．以M、N為直徑的圓恰好通過橢圓的中心，可得

OM

•

ON

=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．

解答： 解：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，把P（-

3

，0）代入橢圓方程：11×3+y²=9，無解，舍去．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k(x+

3

)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=k(x+ 3 ) 11x2+y2=9

，化為（11+k²）x²+2

3

k2x+3k²-9=0，
∵△=12k⁴-4（11+k²）（3k²-9）＞0，解得k2＜

33

8

．
∴x₁+x₂=-

2 3 k2

11+k2

，x1x2=

3k2-9

11+k2

．
∵以M、N為直徑的圓恰好通過橢圓的中心，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x1x2+k2(x1+

3

)(x2+

3

)=0，
化為（1+k²）x₁x₂+

3

k2(x1+x2)+3k2=0，
∴

(1+k2)(3k2-9)

11+k2

-

2 3 k2× 3 k2

11+k2

+3k²=0，
化為k2=

1

3

，滿足△＞0．
解得k=±

3

3

．
設(shè)直線l的傾斜角為θ，θ∈[0，π），
∴tanθ=±

3

3

，
∴θ=

π

6

或

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、圓的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．