Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

（b-1）x²+cx．
（1）當b=-3，c=3時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上遞增，在（x₁，x₂）上遞減，x₂-x₁＞1，求證：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，若t＜x₁，試比較t²+bt+c與x₁的大小．

Answer 1

f′（x）=x²+（b-1）x+c
（1）b=-3，c=3時，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3）
根據(jù)導數(shù)的知識可得，y極大=f(1)=

4

3

，y極小=f(3)=0
（2）f'（x）=x²+（b-1）x+c
由題意可得x₁，x₂為x²+（b-1）x+c=0的兩根，而|x₁-x₂|=x2-x1=

(b-1)2-4c

＞1從而可證
（3）由于x²+（b-1）x+c=（x-x₁）（x-x₂），則可得t²+bt+c=（t-x₁）（t-x₂）+t，t²+bt+c-x₁=（t-x₁）（t-x₂）+t-x₁=（t-x₁）（t-x₂+1），結(jié)合已知可證（t-x₁）（t-x₂+1）＞0，即證