Question

設(shè)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，且當(dāng)x＞0時有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，則不等式f（x）＞0的解集是

1. A.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）
2. B.
   （-1，0）∪（0，1）
3. C.
   （-∞，-1）∪（0，1）
4. D.
   （-1，0）∪（1，+∞）

Answer 1

C
分析：首先，因為g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價于＞0的解集．由當(dāng)x＞0時有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以證明的單調(diào)性，從而使問題得解．
解答：首先，因為g（x）是定義域為R的恒大于零的函數(shù)，所以f（x）＞0式的解集等價于＞0的解集．
下面我們重點研究的函數(shù)特性．因為當(dāng)x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以當(dāng)x＞0，．也就是，當(dāng)x＞0時，是遞減的．
由f（1）=0得=0．所以有遞減性質(zhì)，（0，1）有0．
由f（x）是奇函數(shù)，f（-1）=0，x＜-1時，＞0 不等f（x）＞0式的解集是（-∞，-1）∪（0，1），
故選C．
點評：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，找出函數(shù)的零點，并以零點為端點將定義域分為幾個不同的區(qū)間，然后在每個區(qū)間上結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行討論，這是分類討論思想在解決問題的巨大作用的最好體現(xiàn)，分類討論思想往往能將一個復(fù)雜的問題的簡單化，是高中階段必須要掌握的一種方法．