Question

【題目】設(shè)A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零，記s（m，n）為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于A∈S（m，n），記ri（A）為A的第ⅰ行各數(shù)之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）為A的第j列各數(shù)之和（1≤j≤n）；記K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
（1）如表A，求K（A）的值；

1	1	﹣0.8
0.1	﹣0.3	﹣1

（2）設(shè)數(shù)表A∈S（2，3）形如

1	1	c
a	b	﹣1

求K（A）的最大值；
（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知r1（A）=1.2，r2（A）=﹣1.2，c1（A）=1.1，c2（A）=0.7，c3（A）=﹣1.8

∴K（A）=0.7

（2）解：先用反證法證明k（A）≤1：

若k（A）＞1

則|c1（A）|=|a+1|=a+1＞1，∴a＞0

同理可知b＞0，∴a+b＞0

由題目所有數(shù)和為0

即a+b+c=﹣1

∴c=﹣1﹣a﹣b＜﹣1

與題目條件矛盾

∴k（A）≤1．

易知當(dāng)a=b=0時，k（A）=1存在

∴k（A）的最大值為1

（3）解：k（A）的最大值為 ．

首先構(gòu)造滿足 的A={ai，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）： ， ．

經(jīng)計算知，A中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且 ， ， ．

下面證明 是最大值．若不然，則存在一個數(shù)表A∈S（2，2t+1），使得 ．

由k（A）的定義知A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于x﹣1．

設(shè)A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)g＜h，則g≤t，h≥t+1．另外，由對稱性不妨設(shè)A的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)．

考慮A的第一行，由前面結(jié)論知A的第一行有不超過t個正數(shù)和不少于t+1個負(fù)數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負(fù)數(shù)的絕對值不小于x﹣1（即每個負(fù)數(shù)均不超過1﹣x）．因此|r1（A）|=r1（A）≤t1+（t+1）（1﹣x）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，

故A的第一行行和的絕對值小于x，與假設(shè)矛盾．因此k（A）的最大值為

【解析】（1）根據(jù)ri（A），Cj（A），定義求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根據(jù)K（A）為|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反證法證明k（A）≤1，然后證明k（A）=1存在即可；（3）首先構(gòu)造滿足 的A={ai ， j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后證明 是最大值即可．