Question

在直角標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（2，-2）在矩陣M=（

0 1 α 0

）對(duì)應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)（-2，4），曲線C：x²+y²=1在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線C'，求曲線C'的方程．

Answer 1

分析：先根據(jù)變換的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，列式解出α=2，得M=（

0 1 2 0

）．再設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀），根據(jù)矩陣變換的公式求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P′（x，y），解出由x、y表示x₀，y₀的式子，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入曲線C方程，化簡(jiǎn)即得曲線C'的方程．

解答：解：根據(jù)題意，得（

0 1 α 0

）（

2   -2

）=（

-2   4

）
∴2α=4，可得α=2，即M=（

0 1 2 0

）
設(shè)P（x₀，y₀）是曲線C：x²+y²=1上任意一點(diǎn)，
則點(diǎn)P（x₀，y₀）在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P′（x，y）
則有（

x   y

）=（

0 1 2 0

）（

x0   y0

），即

x=y0 y=2x0

，所以

x0= 1 2 y y0=x

又∵點(diǎn)P在曲線C：x²+y²=1上，
∴

y2

4

+x²=1，即曲線C'的方程為橢圓x²+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題給出矩陣變換，求曲線C在矩陣M對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線C'方程，著重考查了矩陣與變換的運(yùn)算、曲線方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．利用求軌跡方程的方法進(jìn)行求解，是解決本題的一般方法．