已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓 上任意一點(diǎn)，且的最小值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）動(dòng)圓與橢圓相交于A、B、C、D四點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積.

 

【答案】

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

【解析】

試題分析：（1）由于（定值）這個(gè)條件并結(jié)合余弦定理以及的最小值為這個(gè)條件可以求出的值，并由已知條件中的值可以求出，并最終求出橢圓的方程；（2）先設(shè)出、、、中其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)這四點(diǎn)之間的相互對(duì)稱性將四邊形的面積用該點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行表示，結(jié)合這一條件將面積轉(zhuǎn)化為其中一個(gè)變量的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的求最值的思想求出四邊形面積的最大值，并可以求出對(duì)應(yīng)的值.

試題解析：（1）因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，所以.

在△中，，由余弦定理得

.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image025.png">，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image027.png">，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image029.png">的最小值為，所以，解得.

又，所以.所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，則矩形ABCD的面積.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image038.png">，所以.

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102910522247779699/SYS201310291054205024625989_DA.files/image041.png">且，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值24.

此時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為.

考點(diǎn)：橢圓的定義、余弦定理、二次函數(shù)

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的離心率為
1
2
且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，
3
2
)．M為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，以M為圓心，MF2為半徑作圓M．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若圓M與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）是否存在定圓N，使得圓N與圓M相切？若存在．求出圓N的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其右準(zhǔn)線上上存在點(diǎn)（點(diǎn)在 軸上方），使為等腰三角形．

⑴求離心率的范圍；

    ⑵若橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，求的內(nèi)切圓的方程．

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已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，， 點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，△是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)分別作直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為，，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)（）．

 

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（本題滿分14分）     已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，其中

F2也是拋物線的焦點(diǎn)，M是C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且  

（I）求橢圓C1的方程；   （II）已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓C1上，頂點(diǎn)B、D在直線上，求直線AC的方程。

 

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（本小題滿分12分）

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，右準(zhǔn)線方程為．

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過(guò)點(diǎn)的直線與該橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

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