Question

【題目】如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左右焦點分別為F1 ， F2 ， 線段OF1 ， OF2的中點分別為B1 ， B2 ， 且△AB1B2是面積為4的直角三角形．

（1）求該橢圓的離心率和標準方程；
（2）過B1做直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2 ， 求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的方程為 ，F2（c，0）

∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2為直角，從而|OA|=|OB2|，即

∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴

在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S= |B1B2||OA|=

∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20

∴橢圓標準方程為 ；

（2）解：由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2

代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①

設P（x1，y1），Q（x2，y2），

∴ ，

∵ ，

∴ =

∵PB2⊥QB2，∴

∴ ，∴m=±2

所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．

【解析】（1）設橢圓的方程為 ，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2為直角，從而 ，利用c2=a2﹣b2 ， 可求 ，又S= |B1B2||OA|= =4，故可求橢圓標準方程；（2）由（1）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由題意，直線PQ的傾斜角不為0，故可設直線PQ的方程為x=my﹣2，代入橢圓方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韋達定理及PB2⊥QB2 ， 利用 可求m的值，進而可求直線l的方程．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．