Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M、N分別是A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求直線BC₁和平面A₁BC所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由BC⊥AC，BC⊥CC₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，連接AC₁，則BC⊥AC₁．側(cè)面ACC₁A₁是正方形，所以A₁C⊥AC₁．又BC∩A₁C=C，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC₁⊥平面A₁BC，因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點(diǎn)，連接AB₁，則點(diǎn)M是AB₁的中點(diǎn)，又點(diǎn)N是B₁C₁的中點(diǎn)，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁，從而MN⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）根據(jù)AC₁⊥平面A₁BC，設(shè)AC₁與A₁C相交于點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)線面所成角的定義可知∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角，設(shè)AC=BC=CC₁=a，求出C₁D，BC₁，在Rt△BDC₁中，求出∠C₁BD，即可求出所求．
解答：證明：（Ⅰ）由已知BC⊥AC，BC⊥CC₁，
所以BC⊥平面ACC₁A₁．連接AC₁，則BC⊥AC₁．
由已知，側(cè)面ACC₁A₁是矩形，所以A₁C⊥AC₁．
又BC∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC．
因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁是正方形，M是A₁B的中點(diǎn)，連接AB₁，則點(diǎn)M是AB₁的中點(diǎn)．
又點(diǎn)N是B₁C₁的中點(diǎn)，則MN是△AB₁C₁的中位線，所以MN∥AC₁．
故MN⊥平面A₁BC．
（Ⅱ）因?yàn)锳C₁⊥平面A₁BC，設(shè)AC₁與A₁C相交于點(diǎn)D，
連接BD，則∠C₁BD為直線BC₁和平面A₁BC所成角．
設(shè)AC=BC=CC₁=a，則C₁D=a，BC₁=a．
在Rt△BDC₁中，sin∠C₁BD=，
所以∠C₁BD=30°，故直線BC₁和平面A₁BC所成的角為30°．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成角的度量，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．