Question

（2013•房山區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足(2an-1)(2bn-1)=1，T_n為{b_n}的前n項(xiàng)和，試比較T_n與log2

(2an+1)

的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0，令n分別取1，2即可得出；
（II）由已知可知Sn=

1

2

anan+1，可得an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．由于a_n+1≠0，轉(zhuǎn)化為一個(gè)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列：a_n+2-a_n=2
（n∈N^*）． 即可得出通項(xiàng)a_n．
（III）   要比較T_n與log2

(2an+1)

的大小，只需比較2T_n與log₂（2a_n+1）的大小．利用（II）和已知條件即可得出2T_n，令f（n）=2T_n-log₂（2a_n+1），比較f（n+1）與f（n）的大小即可得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵an+1=

2Sn

an

(n∈N*)，其中a₁=1，a_n≠0．
∴a2=

2S1

a1

=

2a1

a1

=2，
a3=

2S2

a2

=

2(a1+a2)

a2

=3．
（Ⅱ）由已知可知Sn=

1

2

anan+1，故an+1=Sn+1-Sn=

1

2

an+1an+2-

1

2

anan+1．
∵a_n+1≠0，∴a_n+2-a_n=2（n∈N^*）．         
于是 數(shù)列{a_2m-1}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴a_2m-1=1+2（m-1）=2m-1，
數(shù)列{a_2m}是以a₂=2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，∴a_2m=2+2（m-1）=2m，
∴a_n=n（n∈N^*）．                     
（Ⅲ）可知Tn＞log2

(2an+1)

．下面給出證明：
要比較T_n與log2

(2an+1)

的大小，只需比較2T_n與log₂（2a_n+1）的大�。�
由(2an-1)(2bn-1)=1，得(2n-1)(2bn-1)=1，2bn=

2n

2n-1

，
故bn=log2

2n

2n-1

．            
從而 Tn=b1+b2+…+bn=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)．
2Tn=2log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2
因此2T_n-log₂（2a_n+1）=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2-log₂（2n+1）
=log2(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2+log2

1

2n+1

=log2[(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

]．
設(shè)f(n)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

)2•

1

2n+1

，
則f(n+1)=(

2

1

•

4

3

•

6

5

•…•

2n

2n-1

•

2n+2

2n+1

)2•

1

2n+3

，
故

f(n+1)

f(n)

=

2n+1

2n+3

•(

2n+2

2n+1

)2=

(2n+2)2

(2n+3)(2n+1)

=

4n2+8n+4

4n2+8n+3

＞1，
又f（n）＞0，∴f（n+1）＞f（n）．
所以對(duì)于任意 n∈N^*都有f(n)≥f(1)=

4

3

＞1，
從而2T_n-log₂（2a_n+1）=log₂f（n）＞0．
所以2Tn＞log2(2an+1)，n∈N*．
即  Tn＞log2

(2an+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)a_n與S_n之間的關(guān)系，分類討論的思想方法，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，作差法和作商比較兩個(gè)數(shù)的大小等知識(shí)與方法，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力．