(2013•房山區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=(x2+x-a)e
xa
(a>0).
(Ⅰ)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x=-5時,f(x)取得極值.
①若m≥-5,求函數(shù)f(x)在[m,m+1]上的最小值;
②求證:對任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2.
分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f′(x),當(dāng)a=1時,解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;
(Ⅱ)①當(dāng)x=-5時f(x)取得極值可得f′(-5)=0,由此求得a值,從而利用導(dǎo)數(shù)可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn),按極值點(diǎn)在區(qū)間[m,m+1]內(nèi)、外討論f(x)的單調(diào)性,由單調(diào)性即可求得f(x)的最小值;②對任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x),利用導(dǎo)數(shù)易求得函數(shù)在[-2,1]內(nèi)的最大值、最小值;
解答:解:(Ⅰ)f′(x)=
1
a
(x2+x-a)e
x
a
+(2x+1)e
x
a
=
1
a
x(x+1+2a)e
x
a
,
當(dāng)a=1時,f′(x)=x(x+3)ex,
解f′(x)>0得x>0或x<-3,解f′(x)<0得-3<x<0,
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-3)和(0,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-3,0).
(Ⅱ)①當(dāng)x=-5時,f(x)取得極值,所以f′(-5)=
1
a
(-5)(-5+1+2a)e
x
a
=0

解得a=2(經(jīng)檢驗(yàn)a=2符合題意),
f′(x)=
1
2
x(x+5)e
x
2
,當(dāng)x<-5或x>0時f′(x)>0,當(dāng)-5<x<0時f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,-5)和(0,+∞)上遞增,在(-5,0)上遞減,
當(dāng)-5≤m≤-1時,f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞減,fmin(x)=f(m+1)=m(m+3)e
m+1
2

當(dāng)-1<m<0時,m<0<m+1,f(x)在[m,0]上單調(diào)遞減,在[0,m+1]上單調(diào)遞增,fmin(x)=f(0)=-2,
當(dāng)m≥0時,f(x)在[m,m+1]上單調(diào)遞增,fmin(x)=f(m)=(m+2)(m-1)e
m
2
,
綜上,f(x)在[m,m+1]上的最小值為
fmin(x)=
m(m+3)e
m+1
2
,-5≤m≤-1
-2,-1<m<0
(m+2)(m-1)e
m
2
,m≥0

②令f′(x)=0得x=0或x=-5(舍),
因?yàn)閒(-2)=0,f(0)=-2,f(1)=0,所以fmax(x)=0,fmin(x)=-2,
所以對任意x1,x2∈[-2,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤fmax(x)-fmin(x)=2.
點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值,考查分類討論思想,考查學(xué)生分析問題解決問題的能力,綜合性強(qiáng),難度較大.
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1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,則該函數(shù)的對稱中心為
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,計(jì)算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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