Question

已知a，b，c是正數(shù)，a₁=lga，a₂=lgb，a₃=lgc．
（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，比較a₁-a₂與a₂-a₃的大��；
（Ⅱ）若a₁-a₂＞a₂-a₃＞a₃-a₁，則a，b，c三個(gè)數(shù)中，哪個(gè)數(shù)最大，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若a=t，b=t²，c=t³（t∈N^*），且a₁，a₂，a₃的整數(shù)部分分別是m，m²+1，2m²+1，求所有t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差中項(xiàng)的概念把b用a，c表示，作差后利用基本不等式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得答案；
（Ⅱ）令m=a₁-a₂，n=a₂-a₃，p=a₃-a₁，結(jié)合已知條件得到m＞0＞p，從而得到lga＞lgb且lga＞lgc．則答案可求；
（Ⅲ）根據(jù)已知a₁，a₂，a₃的整數(shù)部分分別是m，m²+1，2m²+1，得到lgt，lgt²，lgt³的整數(shù)部分分別是m，m²+1，2m²+1，則m≤lgt＜m+1，由此求出lgt²的整數(shù)部分是2m或2m+1．結(jié)合已知求出m的值．然后分類(lèi)分析同時(shí)滿(mǎn)足條件的t的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得（a₁-a₂）-（a₂-a₃）=lg

a

b

-lg

b

c

=lg

ac

b2

．
∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴b=

a+c

2

，
則（a₁-a₂）-（a₂-a₃）=lg

4ac

(a+c)2

，
∵a²+c²≥2ac，
∴（a+c）²≥4ac，
即

4ac

(a+c)2

≤1，
則（a₁-a₂）-（a₂-a₃）≤0，
即a₁-a₂≤a₂-a₃，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立；
（Ⅱ）令m=a₁-a₂，n=a₂-a₃，p=a₃-a₁，
依題意，m＞n＞p且m+n+p=0，所以m＞0＞p．
故a₁-a₂＞0，
即lga＞lgb；且a₁-a₃＞0，
即lga＞lgc．
∴a＞b且a＞c．
故a，b，c三個(gè)數(shù)中，a最大．
（Ⅲ）依題意，lgt，lgt²，lgt³的整數(shù)部分分別是m，m²+1，2m²+1，則m≤lgt＜m+1，
∴2m≤2lgt＜2m+2．
又lgt²=2lgt，則lgt²的整數(shù)部分是2m或2m+1．
當(dāng)m²+1=2m時(shí)，m=1；
當(dāng)m²+1=2m+1時(shí)，m=0，2．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，lgt，lgt²，lgt³的整數(shù)部分分別是0，1，1，
∴0≤lgt＜1，1≤lgt²＜2，1≤lgt³＜2．∴

1

2

≤lgt＜

2

3

，
解得10

1

2

≤t＜10

2

3

．
又∵10

1

2

∈(3，4)，10

2

3

∈(4，5)，
∴此時(shí)t=4．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，同理可得1≤lgt＜2，2≤lgt²＜3，3≤lgt³＜4．
∴1≤lgt＜

4

3

，解得10≤t＜10

4

3

．
又∵10

4

3

∈(21，22)，此時(shí)t=10，11，12，…20，21．
（3）當(dāng)m=2時(shí)，
同理可得2≤lgt＜3，5≤lgt²＜6，9≤lgt³＜10，
同時(shí)滿(mǎn)足條件的t不存在．
綜上所述，t=4，10，11，12，…20，21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，求解該題的關(guān)鍵是要有清晰的解題思路，做好分類(lèi)，屬有一定難度題目．