Question

如圖，貨輪每小時海里的速度向正東方航行，快艇按固定方向勻速直線航行，當貨輪位于A₁處時，快艇位于貨輪的東偏南105°方向的B₁處，此時兩船相距30海里，當貨輪航行30分鐘到達A₂處時，快艇航行到貨輪的東偏南45°方向的B₂處，此時兩船相距海里．問快艇每小時航行多少海里？

Answer 1

【答案】分析：連接A₂B₁，確定兩船的位置關系，在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，求出B₁A₂的長度，利用正弦定理求出∠A₁A₂B₁，然后求出兩船相遇的距離B₁B₂，然后求出快艇的速度．
解答：解：如圖，連接A₂B₁，根據題意，有：
A₁B₁=30海里，A₁A₁=海里，∠B₁A₁A₂=105°
∵cos105°=cos（45°+60°）
=cos45°cos60°-sin45°sin60°
==，
sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°
=，
在△A₂A₁B₁中，由余弦定理，

∴，
由正弦定理

∴∠A₁A₂B₁=45°
又∵∠B₂A₂C=45°，
∴∠B₁A₂B₂=90°
在Rt△B₁A₂B₂中，B₁B₂²=B₁A₂²+A₁B₂²=15²×8
∴
快鋌的速度大小為（海里/小時）．
點評：本題是中檔題，考查解三角形正弦定理、余弦定理的應用，考查實際問題中方位角與距離之間的關系，考查計算能力，轉化思想．