Question

已知數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且滿足a₃•a₅=16，a₂+a₆=10．
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）對(duì)于（1）中{a_n}，令bn=(an+7)•

2n

3

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意：a₂+a₆=10=a₁+a₇，又a₃•a₅=16，由此得a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的兩根的值，從而求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可得出其通項(xiàng)公式；．
（2）根據(jù)（1）先求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．即b_n=n•2ⁿ，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{b_n} 的前n項(xiàng)和 T_n 的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意：a₂+a₆=10=a₃+a₅，又a₃•a₅=16，
所以a₃，a₅是方程x²-10x+16=0的兩根，且a₃＜a₅，
解得a₅=8，a₃=2，所以d=3，
∴a_n=3n-7．…（4分）
（2）bn=(an+7)•

2n

3

=n•2n，則
T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得
-Tn=21+22+23+…+2n-1+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，
所以T_n=n•2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于中檔題．