Question

（2010•眉山一模）同學(xué)小王參加甲、乙、丙三所學(xué)校的自主命題招生考試，其被錄取的概率分別為

2

3

，

3

4

，

1

2

（各學(xué)校是否錄取他相互獨(dú)立，允許小王被多個(gè)學(xué)校同時(shí)錄�。�
（Ⅰ）求小王沒(méi)有被錄取的概率；
（Ⅱ）設(shè)錄取小王的學(xué)校個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和它地?cái)?shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）各學(xué)校是否錄取他相互獨(dú)立，小王被幾個(gè)學(xué)校錄取是相互獨(dú)立的，小王沒(méi)有被錄取表示小王沒(méi)有被三個(gè)學(xué)校中的任何一個(gè)錄取，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（II）由題意可得：ξ可能取的值為0，1，2，3，再分別求出其發(fā)生的概率，即可得到ξ的分布列，進(jìn)而求出ξ的期望．

解答：解：（I）∵各學(xué)校是否錄取他相互獨(dú)立，
∴小王被幾個(gè)學(xué)校錄取是相互獨(dú)立的，
因?yàn)樾⊥鯖](méi)有被錄取則表示小王沒(méi)有被三個(gè)學(xué)校中的任何一個(gè)錄取，
所以小王沒(méi)有被錄取的概率是 (1-

2

3

)(1-

3

4

)(1-

1

2

)=

1

24

．
（II）由題意可得：ξ可能取的值為0，1，2，3，
所以P（ξ=0）=(1-

2

3

)(1-

3

4

)(1-

1

2

)=

1

24

；P（ξ=1）=

2

3

×

1

4

×

1

2

+

1

3

×

3

4

×

1

2

+

1

3

×

1

4

×

1

2

=

1

4

；
P（ξ=2）=

3

4

×

1

2

×

1

3

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

2

3

×

3

4

×

1

2

=

11

24

；P（ξ=3）=

2

3

×

3

4

×

1

2

=

1

4

．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 24	1 4	11 24	1 4

所以Eξ0×

1

24

+1×

1

4

+2×

11

24

+3×

1

4

=

23

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等可能事件發(fā)生的概率，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，此題屬于中檔題型，高考經(jīng)常的涉及．