Question

已知等腰三角形△ABC三邊為a，b，c三邊所對角為A，B，C，滿足 bcosC+ccosB=

3

R．R為三角形ABC的外接圓半徑．
（1）求角A．
（2）若a=1，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）等腰三角形△ABC中，由條件正弦定理】誘導公式求得sinA=

3

2

，可得A的值．
（2）由a=1，可得當A=

π

3

時，△ABC為等邊三角形，求得此時三角形的周長為3；當A=

2π

3

時，利用正弦定理求得b、c的值，可得三角形的周長，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）等腰三角形△ABC中，∵bcosC+ccosB=

3

R，則由正弦定理可得sinBcosC+cosBsinC=

3

2

，
即sin（B+C）=

3

2

=sinA，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

，或A=

2π

3

．
（2）∵a=1，當A=

π

3

時，△ABC為等邊三角形，此時三角形的周長為3；
當A=

2π

3

時，B=C=

π

6

，由a=1利用正弦定理可得

b

sin π 6

=

a

sinA

，即

b

1 2

=

1

3 2

，b=

3

3

=c，
此時，三角形的周長為1+

2 3

3

．
綜上可得，三角形的周長為3 或1+

2 3

3

．

點評：本題主要考查正弦定理、誘導公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．