Question

【題目】已知橢圓C：的離心率，橢圓C上的點到其左焦點的最大距離為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點A作直線與橢圓相交于點B，則軸上是否存在點P，使得線段，且？若存在，求出點P坐標；否則請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由橢圓C上的點到其左焦點的最大值為，可得，結合離心率解方程組即可得解；

（Ⅱ）先討論直線的斜率時，可得P，討論直線的斜率不為0時，設為直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得點B，進而得AB的中垂線方程，令可得點P，再由求解方程即可.

（Ⅰ）由題可知，故設則

又∵橢圓C上的點到其左焦點的最大值為

∴可判定那一點的坐標為

∴

∴

∴a=2，

∴

∴橢圓C的方程為

（Ⅱ）由，可知點P在線段AB的中垂線上，由題意知直線的斜率顯然存在設為.

當直線的斜率時，則B(2,0).設.

由，解得，又.

當直線的斜率不為0時，設為直線的方程為：.

聯(lián)立得：.

有：，解得，即.

AB的中點為，

線段AB的中垂線為：，令，得.

即.

.解得，此時.

綜上可得或.