Question

已知四棱錐P-ABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若F是BC上任一點(diǎn)，求證：AE⊥PF；
（Ⅱ）設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，求直線BO與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意首先應(yīng)有三視圖的到還原后的立體圖形應(yīng)為一側(cè)棱與底面垂直的四棱錐，由題意及圖得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，既可以得到證明；
（2）利用空間向量，由題意先建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角與該直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系即可得求．

解答：（Ⅰ）證明：由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2和1的矩形，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=2．
∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A
∴BC⊥平面PAB．∴BC⊥AE．
又在△PAB中，∵PA=PB，E是PB的中點(diǎn)，
∴AE⊥PB．
∵BC∩PB=B，∴AE⊥平面PBC．
∴AE⊥PF．
（2）以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則P（0，0，2），B（2，0，0），E（1，0，1），C（2，1，0），0（1，

1

2

，0）．
∴

AE

=(1，0，1)

AC

=(2，1，0)．
設(shè)

n

=(x，y，z)，是平面EAC的一個(gè)法向量，則由

n • AE =0  n • AC =0

得

(x，y，z)•(1，0，1)=0 (x，y，z)•(2，1，0)=0

即

x+z=0 2x+y=0

取x=1得

n

=(1，-2，-1)．
而

OB

=(1，-

1

2

，0)，∴cos＜

n

，

OB

＞=

n  • OB

| n |  OB

=

2 30

15

．
設(shè)直線BO與平面AEC所成角為α，則sinα=

2 30

15

．
∴直線BO與平面AEC所成角的正弦值為

2 30

15

．

點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)重點(diǎn)考查了有三視圖還原出立體圖形，還考查了利用線面垂直證明線線垂直這樣的轉(zhuǎn)換證明的方法；
（2）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用空間向量的方法求解線面角的知識(shí)．