Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）動(dòng)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，試問：在坐標(biāo)平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）點(diǎn)就是所求的點(diǎn)

試題分析：（Ⅰ）橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以，故橢圓的方程為．
又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，代入可得，2分
所以，故所求橢圓方程為．4分
（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為； 
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為，
由解得
即兩圓相切于點(diǎn)，因此，所求的點(diǎn)如果存在，只能是．8分
事實(shí)上，點(diǎn)就是所求的點(diǎn)．
證明如下：
當(dāng)的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓過點(diǎn)．9分
若的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線為，
由消去得．
記點(diǎn)、，則    10分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240115227231058.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以
．
所以，即以為直徑的圓恒過點(diǎn)，12分
所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件．13分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了解析幾何中運(yùn)用代數(shù)的方法來建立方程組結(jié)合韋達(dá)定理來研究位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。