Question

某遠(yuǎn)洋捕漁船到遠(yuǎn)海捕魚，由于遠(yuǎn)海漁業(yè)資源豐富，每撒一次網(wǎng)都有w萬元的收益；同時，又由于遠(yuǎn)海風(fēng)云未測，每撒一次網(wǎng)存在遭遇沉船事故的可能，其概率為（常數(shù)k為大于l的正整數(shù)）．假定，捕魚船噸位很大，可以裝下幾次撒網(wǎng)所捕的魚，而在每次撒網(wǎng)時，發(fā)生不發(fā)生沉船事故與前一次撒網(wǎng)無關(guān)，若發(fā)生沉船事故，則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在，又已知船長計劃在此處撒網(wǎng)n次．
（1）當(dāng)n=3時，求捕魚收益的期望值
（2）試求n的值，使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大．

Answer 1

解：（1）列表：

收益	0	3W
P

（3分）
所以收益的期望值=（3分）
（2）列表：

收益	0	nW
P

因此，撒了n次網(wǎng)收益的期望值等于（4分），
∵等價于（k-1）-n≥0，得n≤k-1．
∴當(dāng)n＜k-1時，f（n+1）＞f（n）；當(dāng)n=k-1時，f（n+1）=f（n）；
當(dāng)n＞k-1時，f（n+1）＜f（n）；因此，當(dāng)n=k-1時，f（n）達(dá)到最大．（4分）
分析：（1）當(dāng)n=3時，分別計算出捕魚收益為0或3的概率，再列表：
收益03WP最后結(jié)合期望的計算公式即可求得收益的期望值；
（2）先列表如下：
收益0nWP分別得出撒了n次網(wǎng)收益的期望值和撒了n+1次網(wǎng)收益的期望值，再比較它們的大小情況討論其單調(diào)性，從而求得最大值．
點評：離散型隨機變量的期望與方差的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．