Question

某遠(yuǎn)洋捕漁船到遠(yuǎn)海捕魚，由于遠(yuǎn)海漁業(yè)資源豐富，每撒一次網(wǎng)都有w萬元的收益；同時(shí)，又由于遠(yuǎn)海風(fēng)云未測(cè)，每撒一次網(wǎng)存在遭遇沉船事故的可能，其概率為

1

k

（常數(shù)k為大于l的正整數(shù)）．假定，捕魚船噸位很大，可以裝下幾次撒網(wǎng)所捕的魚，而在每次撒網(wǎng)時(shí)，發(fā)生不發(fā)生沉船事故與前一次撒網(wǎng)無關(guān)，若發(fā)生沉船事故，則原來所獲的收益將隨船的沉沒而不存在，又已知船長(zhǎng)計(jì)劃在此處撒網(wǎng)n次．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求捕魚收益的期望值
（2）試求n的值，使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=3時(shí)，分別計(jì)算出捕魚收益為0或3的概率，再列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

最后結(jié)合期望的計(jì)算公式即可求得收益的期望值；
（2）先列表如下：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

分別得出撒了n次網(wǎng)收益的期望值和撒了n+1次網(wǎng)收益的期望值，再比較它們的大小情況討論其單調(diào)性，從而求得最大值．

解答：解：（1）列表：

收益	0	3W
P	1-(1- 1 k )3	(1- 1 k )3

（3分）
所以收益的期望值=3W(1-

1

k

)3（3分）
（2）列表：

收益	0	nW
P	1-(1- 1 k )n	(1- 1 k )n

因此，撒了n次網(wǎng)收益的期望值等于f(n)=wn(1-

1

k

)n（4分）f(n+1)=w(n+1)(1-

1

k

)n+1=wn(1-

1

k

)n(1-

1

k

)

n+1

n

=f(n)[1+

(k-1)-n

kn

]，
∵[1+

(k-1)-n

kn

]≥1等價(jià)于（k-1）-n≥0，得n≤k-1．
∴當(dāng)n＜k-1時(shí)，f（n+1）＞f（n）；當(dāng)n=k-1時(shí)，f（n+1）=f（n）；
當(dāng)n＞k-1時(shí)，f（n+1）＜f（n）；因此，當(dāng)n=k-1時(shí)，f（n）達(dá)到最大．（4分）

點(diǎn)評(píng)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．