Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA=BC=2，

BA

•

BC

=0，異面直線A₁B與AC成60°角，點O、E分別是棱AC和BB₁的中點，點F是棱B₁C₁上的動點．
（1）證明：A₁E⊥OF．
（2）求點E到面AB₁C的距離．
（3）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析：（1）以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，寫出要用的點的坐標，設(shè)出棱錐的高，根據(jù)異面直線A₁B與AC成60°的角，寫出兩條異面直線的夾角，求出高，再求出異面直線所成的角．
（2）求出平面AB₁C的法向量為

n

和向量

EA

的坐標，代入點E到面AB₁C的距離公式d=

| n • EA |

| n |

，即可求出點E到面AB₁C的距離．
（3）根據(jù)建立的坐標系，看出平面的一個法向量，設(shè)出另一個平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0，求出一個法向量，根據(jù)兩個向量的夾角做出二面角的值．

解答：解：（1）如圖1，以B為坐標原點，以BA，BC，BB₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，則A（2，0，0），C（0，2，0），0（1，1，0）
設(shè)棱錐的高為h，則A₁（2，0，h），C（0，2，0），

CA

=(2，-2，0)．
∴cos＜?

BA1

，

CA

＞=

BA1 • CA

| BA1 |•| CA |

，
即cos60°=

4

2 2 • 4+h2

，解得h=2．
∴E（0，0，1），A₁（202），

A1E

=(-2，0，-1)．
∵F為棱B₁C₁上的動點，故可設(shè)f（0，y，2）．
∴

OF

=(-1，y-1，2)．
又

A1E

•

OF

=(-2，0，-1)•(-1，y-1，2)=0
∴

A1E

⊥

OF

（2）易求出平面AB₁C的法向量為

n

=（1，1，1），

EA

=（2，0，-1）
∴點E到面AB₁C的距離d=

| n • EA |

| n |

=

3

3

（3）易知平面A₁CC₁的一個法向量為

BO

=（1，1，0），
設(shè)平面A₁B₁C的一個法向量為

n

=（x，y，1），則

n

=(x，y，1)

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，2，-2）=-2x+2y-2=0，…①

n

•

A1C

=（x，y，1）•（-2，0，0）=-2x=0．…②
由①、②，得

n

=(0，1，1．)．
∴cos＜

n

，

BO

＞=

n • BO

| n |•| BO |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
∴＜

n

，

BO

＞=60°．
即二面角B₁-A₁C-C₁的大小為60°．

點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問題，本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標系，把邏輯性很強的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運算，降低了題目的難度