Question

規(guī)定滿足“f（-x）=-f（x）”的分段函數(shù)叫“對(duì)偶函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=是對(duì)偶函數(shù)，則
（1）g（x）=    ．
（2）若f[-]＞0對(duì)于任意的n∈N°都成立，則m的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)設(shè)x＜0，則-x＞0，代入解析式求出f（-x），再由題意f（-x）=-f（x），求出g（x）；
（2）由（1）求出的解析式，分別求出函數(shù)值的范圍，進(jìn)而把條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的n∈N°恒成立問題，即對(duì)于任意的n∈N°恒成立問題，分離常數(shù)m并把和式展開，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出此式子的最小值即可．
解答：解：（1）由題意設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=x²-4x，
∵f（-x）=-f（x），∴g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（2）由（1）得，，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4＜0，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4≥0，
∵對(duì)于任意的n∈N°恒成立，
∴條件轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×=10（）對(duì)于任意的n∈N°成恒立，
令y=10（），即求y的最小值，
則y=10×[（1）+（）+…+（-）]=10（1-），
∵1-≥1-=，∴y的最小值為5．
綜上可得，m＜5．
故答案為：-x²+4x；m＜5．
點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)新定義為背景考查了恒成立問題，求和符號(hào)的展開，分離常數(shù)法和裂項(xiàng)相消法求和等，難度較大，考查了分析問題和解決問題的能力．