Question

（2012•衡陽模擬）我們規(guī)定滿足“f（-x）=-f（x）”的分段函數(shù)叫“對(duì)偶函數(shù)”．已知函數(shù)f（x）=

x2+4x，x≥0 g(x)，x＜0

是對(duì)偶函數(shù)．
（1）g（x）=

4x-x²

；
（2）若f[

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0對(duì)任意的n∈N^*都成立，則最大正整數(shù)m是

4

．

Answer 1

分析：（1）首先把x＜0轉(zhuǎn)化到x≥0范圍上去，再根據(jù)對(duì)偶函數(shù)的定義和函數(shù)f（x）的解析式，化簡(jiǎn)即可
（2）由函數(shù)f（x）的圖象確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再結(jié)合f（0）=0，把函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的小關(guān)系，根據(jù)恒成立問題的求解方法（最值法）即可求得m的范圍，從而可得最大正整數(shù)m的值

解答：解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）=（-x）²+4（-x）=x²-4x
∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴g（x）=-f（-x）=4x-x²=4x-x²
故答案為：4x-x²
（2）結(jié)合圖象知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（0）=0
若f[

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0=f（0）對(duì)任意的n∈N^*都成立等價(jià)于若

n

i=1

1

i(i+1)

-

m

10

＞0對(duì)任意的n∈N^*都成立
即

m

10

＜

n

i=1

1

i(i+1)

=1-

1

n+1

又當(dāng)n=1時(shí)，1-

1

n+1

取得最小值，最小值為1-

1

2

=

1

2

∴

m

10

＜

1

2

∴m＜5
∴m的最大正整數(shù)是4
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)解析式的求法以及恒成立問題的求解方法，求函數(shù)的解析式要注意自變量的范圍和函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用．恒成立問題可轉(zhuǎn)化為求最值或參數(shù)分離法．屬中檔題