Question

（2011•湖北模擬）已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)三邊分別為a，b，c，且sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，0＜A＜

π

4

．
（I）求tanA的值．
（II）若△ABC的面積s=24，b=8求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A的范圍求出A+

π

4

的范圍，再由sin（

π

4

+A）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（

π

4

+A）的值，根據(jù)A=（

π

4

+A）-

π

4

，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡sinA，把各自的值代入求出sinA的值，再由A的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosA的值，進(jìn)而得到tanA的值；
（II）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，由已知面積為24，及sinA與b的值，求出c的值，再由b，c及cosA的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵0＜A＜

π

4

，∴

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
又sin（

π

4

+A）=

7 2

10

，∴cos（

π

4

+A）=

1-sin2( π 4 +A)

=

2

10

，…（2分）
∴sinA=sin（

π

4

+A-

π

4

）=sin（

π

4

+A）cos

π

4

-cos（

π

4

+A）sin

π

4

=

3

5

，…（4分）
∴cosA=

1-sin2A

=

4

5

，…（5分）
∴tanA=

3

4

；…（6分）
（Ⅱ）∵sinA=

3

5

，b=8，
∴由△ABC的面積s=

1

2

bcsinA=24得：c=10，…（8分）
∴根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=36，
∴a=6．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形的面積公式，以及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的靈活變換．